背包问题与动态规划

最近我一直在复习面试算法的系列问题，其中动态规划一直是我需要加强的薄弱环节。本文是我在学习动态规划相关算法问题时的笔记和总结。

动态规划是一种解决复杂问题的算法方法，它的思想是将一个大问题分解为多个小问题，并且将这些小问题的解保存在一个表格中，以便之后的使用。动态规划常用于优化问题，其目标是找到满足一定限制条件下的最优解。它在计算机科学中有着广泛的应用，例如图像处理、自然语言处理、人工智能等领域。

背包问题是动态规划问题中的一个经典问题，它的经典场景为：给定一个背包和一些物品，每个物品有其对应的价值和重量，需要决定如何将这些物品装入背包中，使得背包中物品的总价值最大化，同时不能超过背包的承载能力。

而 01 背包问题是背包问题中的一个基础问题。它的场景为：一个旅行者需要在旅行时携带一个背包，背包只能装载一定重量的物品。旅行者需要从一堆物品中选择一些物品装入背包，使得背包中物品的总价值最大化。01 背包问题与其他背包问题的一个不同点在于 01 背包问题中，物品只有拿或者不拿两种选择，所以被称之为 01 背包问题。

01 背包问题

接下来我们将通过一个最基本的模板例题来探索 01 背包问题的通用解法和优化思路，以此为基础打开更多更复杂的动态规划问题的大门。

在尝试解题之前，我们先来了解一下动态规划问题的基本解题思路。

动态规划问题通常包括以下几个步骤：

1. 划分阶段：将原问题分解为若干个子问题；
2. 确定状态：描述每个子问题的状态；
3. 确定决策：对每个子问题，确定采取哪些决策是最优的；
4. 建立状态转移方程：根据子问题之间的转移关系，建立状态转移方程；
5. 通过递推或者递归的方式，求解出问题的最优解。

在我看来，动态规划最难的部分就是在确定状态这一步，在确定了状态之后，如何确定决策步骤和建立状态转移方程就相对容易一些。如何设计出一个合理的状态表达决定了我们能否高效的解决问题，而这一步最好的练习方式就只有大量的训练。

下面我们来尝试着用通用的思路来解决一个 01 背包模板问题。

经典背包问题

有  N 件物品和一个容量是  V 的背包。每件物品只能使用一次。

第  i 件物品的体积是  vi ，价值是  wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。

输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有  N 行，每行两个整数  vi,wi，用空格隔开，分别表示第  i 件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤10000≤1000

0<vi, wi≤1000

这道例题非常的直白，从题目的题干我们就可以看出这是一道有限集合求最值的问题，适合用动态规划的思路来解决。此外他还规定了每件物品只能使用一次，完美契合了我们 01 背包问题的定义。不过不是每一道 01 背包问题都会如此的直白，我们在练习题部分会尝试解决一道来自 google kickstart 不那么明显的 01 背包问题。

我们来尝试套用一下最基础的解题思路

划分阶段

我们的目标是找出总价值最大的一组物品，所以我们可以将问题划分为多个阶段，每个阶段对应于决定是否将一个特定的物品放入背包。也就是说，对于每一件物品，我们有两个选择：放或不放。

确定状态

我们需要记录两个状态信息：

• i：当前考虑到的物品编号，范围是**0 ~ N-1**。
• v：当前背包的剩余空间，范围是**0 ~ V**。

我们将用**dp[i][v]来表示这个状态，即考虑前i件物品，且背包的剩余空间为v**时，能达到的最大价值。

确定决策

对于每个状态，我们有两个选择：放入第**i**件物品，或者不放。如果我们选择放入，那么背包的剩余空间会减少，但价值会增加；如果我们选择不放，那么背包的空间和价值都不会变化。

建立状态转移方程

我们根据决策结果，可以得到以下状态转移方程：

• 如果不放第**i件物品，那么dp[i][v] = dp[i - 1][v]**；
• 如果放入第**i件物品，那么dp[i][v] = dp[i - 1][v - vi] + wi，其中vi和wi分别表示第i件物品的体积和价值。注意，这里需要确保v >= vi**。

因此，整体的状态转移方程为：dp[i][v] = max(dp[i - 1][v], dp[i - 1][v - vi] + wi)。

通过递推求解最优解

根据状态转移方程，我们可以从小到大依次计算出所有的**dp[i][v]。注意到每个状态只依赖于前一个状态，所以我们可以通过两层循环，外层遍历物品，内层遍历背包容量从大到小，来计算出所有的状态。最后，dp[N][V]**就是我们要求的答案。

代码实现

接下来我们将根据以上思路写出一个基本的代码框架(go 语言实现)

package main
import (
    "fmt"
    "math"
)

func main(){
	//数据规模不大于1000，方便起见我们使用1010
	const N = 1010
	value := make([]int,N)
	volume := make([]int,N)
	var dp [N][N] int
	var n,v int
	fmt.Scan(&n,&v)
	// 读入数据
	for i := 1;i <= n;i++{
			fmt.Scan(&volume[i],&value[i])
	}
	// 从1开始遍历，省却一些处理边际问题的麻烦
	for i := 1; i <= n;i++{
		for j := 0 ; j <= v;j++{
				//不选第i个物品的情况
				dp[i][j] = dp[i-1][j]
				if j >= volume[i]{
					dp[i][j] = int(math.Max(float64(dp[i][j]), float64(dp[i-1][j-volume[i]] + value[i])))
				}
		}
	}
	// f[n][v]就是我们要求的答案
	fmt.Print(dp[n][v])
}

代码已经写完了，现在我们简单分析一下上述实现的时间和空间复杂度。首先是时间复杂度，除了读取数据之外，我们有两层嵌套循环，所以时间复杂度为 n _ v。关于空间复杂度，为了存储我们的动态规划计算表格，我们开辟了一个 n _ n 的空间。实际上，我们只需要 n _ v 的空间就足够了。在上述解法中，为了节省时间并处理一些边界情况，我们直接使用了 n _ n 的空间。

这种类型的问题一般被称为”伪多项式时间”问题，因为它的时间复杂度并不是基于输入的大小，而是基于输入的数值。在这个问题中，输入的大小是 N（物品的数量）和 V（背包的容量），但时间复杂度是基于这两个输入的数值的乘积。

代码优化

通常情况下，如果我们已经达到了时间复杂度为 n * v，很难在时间复杂度上做更多的优化，因为我们需要遍历所有可能性来确定最优解。在这种情况下，我们可以更多地考虑空间上的优化，这种常见的优化方法通常被称为状态压缩。

观察一下上面的解法，为了做到这一点，我们需要注意到，dp[i][j] 只依赖于上一行dp[i-1][*] 的值。所以，我们只需要保留一行 dp 数组，然后逆序计算 dp[j]。为什么要逆序计算呢？这是因为在计算 dp[j] 的时候，我们需要用到 dp[j-vi] 的值，如果我们正序计算，那么 dp[j-vi] 的值就已经在当前这一行被更新过了，它表示的是当前这一行的值，而不是上一行的值。如果我们逆序计算，那么在计算 dp[j] 的时候，dp[j-vi] 还没有被更新，它仍然表示的是上一行的值。

package main
import (
    "fmt"
    "math"
)

func main(){
	//数据规模不大于1000，方便起见我们使用1010
	const N = 1010
	value := make([]int,N)
	volume := make([]int,N)
	dp := make([]int, N)
	var n,v int
	fmt.Scan(&n,&v)
	// 读入数据
	for i := 1;i <= n;i++{
			fmt.Scan(&volume[i],&value[i])
	}
	// 从1开始遍历，省却一些处理边际问题的麻烦
	for i := 1; i <= n;i++{
		//逆序计算
		for j := v ; j >= volume[i];j--{
				dp[j] = int(math.Max(float64(dp[j]), float64(dp[j-volume[i]] + value[i])))
		}
	}
	// dp[v]就是我们要求的答案
	fmt.Print(dp[v])
}

总结

在本篇博客中，我们深入探讨了动态规划，特别是 01 背包问题，这是动态规划中的一种经典问题。我们首先介绍了动态规划的基本概念，包括如何划分问题阶段、确定状态、确定决策，以及建立状态转移方程等关键步骤。随后，我们通过一个具体的例子，详细展示了如何运用这些步骤来解决 01 背包问题，包括了如何进行空间优化以提升程序的效率。通过学习和理解这个问题，我们可以更好地理解动态规划的内在逻辑，为解决更复杂的动态规划问题打下坚实的基础。下一篇文章我们会透过一个不那么直观的例子来巩固我们对 01 背包这个简单的动态规划问题的理解。